π日，是一年一度的庆祝数学常数π的节日，时间被定在3月14日。通常是在下午1时59分庆祝，以象征圆周率的六位近似值3.14159，有时甚至精确到26秒，以象征圆周率的八位近似值3.1415926；习惯24小时记时的人在凌晨1时59分或者下午3时9分（15时9分）庆祝。全球各地的一些大学数学系在这天举办派对。

数学是人类与自然交流的语言和揭开奥秘的钥匙。自然规律的抽象是数学，自然美的表达是数学。万物皆数，让我们一起找寻大自然中暗藏的数学密码。

梁进

同济大学数学科学学院 教授

大家好，我是同济大学数学科学学院的梁进，今天我来和大家分享大自然中的数学奥秘。

我的演讲以唐代诗人王之涣的一首小诗开始

白日依山尽，黄河入海流。

欲穷千里目，更上一层楼。

这首小诗的上一联描绘了大自然的壮美景观，下一联以一种数学的方式，隐喻着人和自然的关系，我们想要深入地了解自然，我们就得站得更高，看得更远。

我小时候物质生活比较匮乏，水果是比较稀罕的。有一次我拿到一个苹果久久舍不得吃，放在手里转啊转的。看着苹果心里就寻思着，为什么苹果会是圆的呢，为什么它长成了一个球形呢？

当时我想了半天，给自己找到的答案就是它如果不长成球形，如果长得有些棱角，那么这些棱角就是最容易受到伤害的部分。后来长大了，我学了数学，我知道对于一个三维体来说同样的表面积，球形是最大体积的形状。也就是说，苹果长成了它一种最优的形式。

小的时候我也喜欢望着太空胡思乱想。有一次我问我的父亲：天到底有多大？父亲并没有直接回答我，他只是反问我说：你认为天有多大呢？我想了一下说：天应该是一个很大很大的盒子。他笑了，他接着问我：那么这个盒子的外面又是什么呢？我被他问住了，我当时想了想又说：那个盒子的外面应该还是天吧。他说：对了，这就对了，天就比任何一个有限的盒子都要来得大。后来我学了数学，我学了微积分，碰到了无穷的概念，就知道了无穷就是比任何一个有限的盒子都要来得大。

大自然给了我们很多简单的形态：我们看到太阳、月亮是圆的、是球形的。我们还看到各种的植物，它们的果实、它们的花朵是球形的，它们的枝干是圆柱形的，以及它们的叶子是扇形的。

我们还有很多的晶体的形态，地下的矿石是多面体的形状存在着。上面的那一个图形是碳原子形成的分子结构，我们知道，它不一样的结构会有不一样的物理性态，底下的那个正方形的样子是食盐的晶体结构。晶体给了我们一些多面体的，数学中的几何形状。自然通过一些简单的几何形状，告诉了我们一些信息，数学就是研究这些最简单的形状来开始的。

数学是从代数、几何开始，代数就研究数，几何就研究形，最后随着研究的更加深入，通过这些简单的形状，我们得到了这样的一些信息：三角形的稳定性 ；矩形的规则性；圆形的圆满性、优化性；直线的简单性、直达性；曲线的柔和性等等。

大自然也有很多的规律，有些规律我们是直接能感受到的，比如四季的交替，日月的交替，声波的传播，还有神秘的间歇泉等等。数学的发展，以它自己的方式来描述这样的一些规律，这些方式其中之一就是函数。

大自然是美的，中间有很多很漂亮的东西，比如花朵的形状，花籽的排列，还有枝杈的角度，以及神奇的海螺，还有花椰菜的状态等等，这个背后都有一个神奇的比例关系，叫做黄金分割。这个比例就是0.618和1.618，这两个数是无理数，它们之差是等于1 ，它们是互为倒数的。大自然通过一些很简单的形式表现给我们，例如说黄金三角形、黄金矩形、黄金角度、黄金数列、还有黄金螺线等等。

大家有没有注意到过我们有一句话叫做：没有一片雪花是同样的。而关于雪花，你如果是愿意拿着放大镜去观察一下的话，你就会发现放大以后还是有很精细的结构，如果你把放大镜放的更大，你会发现这种精细的结构还是存在的。所以大自然中有这样的一种形态，这种形态在很多时候能发现，譬如说地脉、叶脉、芦苇花、还有火山岩等等。

在上个世纪有一位数学家叫芒德勃罗，他曾经提了一个问题，他问道：英国的海岸线到底有多长？这个问题听起来好像比较简单，海岸线有多长，你拎个尺子去量就好了。结果当你真的拿着尺子走到到海岸线的时候，你就会发现，这是一个不可能完成的任务。因为海岸线曲曲折折、弯弯绕绕，你越量越长，所以芒德勃罗就从中引出了一个新的数学分支叫做分形。

分形描述的是在任意小的尺度里，都有这种精细的结构，而且它具有一定的自相似性。这个里头我们给大家展示两个比较简单的例子，一个叫做科克曲线，一个叫谢尔宾斯基三角形。我就以科克曲线为例，科克曲线它是一种递归的方式定义的。我们先定义一个等边三角形，然后把这三角形的边分成三等份，再从三等份中间的那个部分，让它再长出一个相似的三角形。这种方式你就不停地做下去，做到一定程度后，你就会发现，会得到一个像雪花一样的图案。

那么现在问题来了，这一朵雪花的周长会是多少呢？首先你会知道这朵雪花，一定是被框在一个有限的二维面区域里，但是因为它是递归构造的，所以它的周长就是一个级数的形式，而这个级数是发散的，这就意味着它的周长是无穷长。在一个有限区域里头的，一个无穷长的曲线是个什么概念？数学会告诉你，这条曲线的维数不再是1，它是多少呢？它是1和2之间的一个无理数。

这张很漂亮的图是计算机模拟的，不断重复的这么一个过程，计算机模也做不到无穷，但是它做到了次数很大很大，比我们人做的次数要大多了，我们会发现它形成一种特别美妙、令人窒息的美和复杂。

在十七世纪有一位哲学家、数学家叫笛卡尔。他当时穷困潦倒，躺在一个小破旧旅馆的床上，望着天花板上的蜘蛛网在那儿发呆，忽然一个灵想击中了他，他想着代数点可以和几何点互相对应起来，于是就提出了直角坐标系。今天我们知道直角坐标系，中学都会学到，而且现在把它叫做笛卡尔坐标系。

今天的“网”更是不得了，它不仅仅把代数点和几何点对应起来，还有各种各样的关系，甚至风马牛不相及的关系都可以连起来，这就是我们的互联网时代，这张网把我们一网打尽，而这张网的源头就是一个小小的蜘蛛。

数学以它的方式发展着，发展出很多很深奥的学科出来，其中有一门叫做微积分。很多同学进了大学都是会去学微积分，而且觉得它很难，但是大自然却用很多形式，为我们诠释了微积分的很多的概念。这几张图是我在世界各地拍的，还有两张图是射电望远镜拍的，例如相切、趋近、差分、剖分、还有最值、收敛和发散等等。这些图片中的现象，在我们学了数学以后，马上就可以用数学去解释，这些现象看起来不是很简单，其实可以算出来。

例如说很多人都见过彩虹。你有没有发现一件事，不管你在什么时间，在什么地点观察到彩虹，彩虹的虹点就是最高的那个点和你眼睛，以及地面的夹角好像都是不变的。对的，微积分可以计算出来，告诉你，那个角度就是42º。

我们很多人还很喜欢水生动物，鱼在水里头自由自在游，样子非常可爱，但是你有没有注意到，鱼在水里从来不是一条直线地游，是忽上忽下地游，为什么要这样游呢？因为它要借助重力，去达到一个省力的状态。微积分可以根据鱼的重量，根据水的阻力，计算出鱼最佳的游角度。

现在问题就来了，我刚才说的花儿、草儿、还有这些鱼儿，它们为什么以数学的方式在那儿行为，在那儿生活着呢？这个好像有点不可思议，但是背后的原因就是它们必须要以一种最佳的方式，才能在最激烈的大自然的竞争中生存下来，而数学就是解开最优方式的方法。

数学还解开了一些我们人类自古以来的一些疑问，比如说遗传。我们知道有一句俗语叫龙生龙，凤生凤，老鼠生儿打地洞。

生物是如何把自己的生物密码遗传给下一代的？这个问题一直困惑着人们。上一个世纪有一位遗传学家叫孟德尔，他做了很多遗传试验，其中通过豌豆花解开了显性遗传和隐性遗传的数学的方式。

后来人们有了进一步的发展，特别是DNA的发现，当时大家认为我们找到了遗传密码。不过遗传密码还有很多工作要做，于是大家开始写DNA基因组的基因组序列。基因组序列写出来以后，大家就傻了眼，为什么？这个就是一部天书，看不懂，真是看不懂，里面的信息我们完全无法捕捉，我们只能知道几个片段是什么意思，大量的信息不懂，所以大自然给了我们更大的一个谜，这个谜就是基因的密码。我们人类是喜欢接受挑战的，要解开这个密码的工具或者说方法就是数学方法。

数学在我们的经济生活和社会生活中同样也起到了很大的作用。我们刚刚结束了第七次人口普，为什么要做人口普查呢？因为我们有数学模型，这个数学模型可以刻画人口变化的一些规律，通过这些规律，我们来制定政策，制定我们的管理方案，从而达到科学管理的目的。这个数学模型中间有好多参数，这些参数是根据我们的文化背景，生活习惯，我们的观念，科技水平，生活水平，经济水平等等因素，在不停地变，所以我们需要实时地通过人口普查，从实际数据中获取这些参数，让我们人口普查的模型，更加确切地反映我们的实际情况。我展示了一个非常简单的模型，这个模型就是人口滞阻增长模型。我们真正用的模型比它复杂，右边的这个图就是这个模型所描绘的图像。

在大自然中不仅有人类，还有很多的物种，这些物种相互之间都有很多的关系，关系很复杂，但是你可以把它简化成基本上有三个最基本的模型。物种形成了我们大自然中的生物链，这三种最基本的关系就是捕食模型，驱替模型还有互助模型。

而我们人和大自然之间的关系，最近出了一点问题，大家都知道这个问题就是温室效应。为什么温室效应会引起大家那么大的重视呢？因为我们有数学模型，可以用数学模型去模拟、去刻画温室效应带来的后果，我们发现这个后果真的还是比较严重的。所以我们要通过不停地调整我们人类的行为，以达到和大自然和谐相处的目的。

还要通过数学来调整我们的行为，大自然对你不检点的行为会有警告，这些警告就是通过自然灾害告诉你。这些自然灾害包括龙卷风、海啸、火山、地震、还有最近施虐我们全球的新冠肺炎以及其它的病毒。这些东西数学也是要去进行刻画、了解、描述的。描述这些东西对数学来讲也很挑战，因为所有的这些灾难都有突发性。我们想要了解它的规律，我们现在做了一些工作，但是还远远的不够，只有我们真正了解这些规律，我们才可以减灾，我们不敢说控灾，我们只能说我们可以最大程度地减灾，让我们从自然灾害的警告中警醒过来。

这个里头我给大家展示一个模型，这个模型就是传染病的数学模型，最近是用的很多。这个模型当然是一个简单的形式了，真正用的比这个要复杂。那么这个简单的模型实际上是三个方程的方程组，这三个方程的描述了患病人群，还有易感人群以及死亡人群之间的关系，其中有三个重要的参数就是感染率，死亡率和治愈率。我们现在的抗疫措施就是调整这三个参数，就是提高治愈率，减少死亡率，减少传染率，然后能达到我们尽快地让疫情控制下来的目的。

太空对我们人类来说是永远的奥秘，最伟大的科学家都为此做了很多的工作。牛顿提出了三大定律，奠定了经典物理学的基础，而且他还和另外一个数学家莱布尼兹，一起提出了微积分。在他们的同时代，还有一位天体学家叫开普勒，也提了一个三大定律，描述了行星的规律。其中有一个规律就是说，行星是绕着太阳，以一个椭圆形的轨道进行运行，而且太阳就在焦点上。而牛顿的定律基本上是说物体、星体、和物体之间的关系，所以这两个定律看起来是不一样的，但是通过微积分可以证明，这两样东西都是等价的。更有甚者，当时根据这些定律计算，还预示了当时的观察手段还看不到的两颗星，一颗是海王星，一个颗冥王星，观察技术提高以后，证实了海王星和冥王星的存在。

在上个世纪，爱因斯坦也提出了广义相对论，他的数学计算基本上很多都用到了很高深的像黎曼几何这样的东西。当时他还预言了一件事情就是引力波，在当时是观察不到的。引力波在他预言以后将近过了差不多一百年，今天我们测绘的、观察的手段都有了很大的提高，而我们在今天观察到了，并且证实了引力波的存在。我们看到像爱因斯坦，像牛顿都是伟大的科学家，他们同时又是数学家。

科学跟自然的关系是最紧密的，而数学正是科学的基础。

关于科学，我非常喜欢一首英语的小诗，这首诗我把它翻译过来就是：

为什么飓风会旋？

为什么水波会断？

为什么火焰会燃？

为什么闪电会颤？

我们关于这个世界的问题，

与生俱来。

科学可以回答这些疑问，

然而科学更是问问题的程阶。

数学和科学的关系，科学和自然的关系是这样子的。所以我们可以看到：

自然规律的抽象是数学；

自然美的表达是数学；

数学是我们与自然交流的语言；

揭开自然奥秘的钥匙就是数学。

数学对我们来说不仅仅是很多人心里中算算账，买买菜那种意思，而是我们和自然之间关系的一种纽带和联系。

最后我的演讲以我写的一首词为结尾，这首词就是《望海潮·致新年》这首词的最后两句话：寄故人来日，多聚阳晴。即便风雨，也是清爽伴君行。

我讲的内容，写在了我这本书里边，这本书获得了2020年5月的中国好书，这本书就是《大自然是个数学老师》。

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